Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{25} {(i^{2} + 2)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(i^{2} + 2)}^{2}$ come $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ .

$(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$

Passaggio 1.2

Espandi $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$i^{2} (i^{2} + 2) + 2 (i^{2} + 2)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 (i^{2} + 2)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $i^{2}$ per $i^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Passaggio 1.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 \cdot i^{2} + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 2 i^{2} + 4$

Passaggio 1.3.2

Somma $2 i^{2}$ e $2 i^{2}$ .

$i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Passaggio 1.4

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4 = \sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \sum_{i = 1}^{25} 4$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{i = 1}^{25} i^{4}$ .

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Passaggio 3.1

Espandi la serie per ciascun valore di $i$ .

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + 25^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica la forma estesa.

$2153645$

Passaggio 4

Calcola $4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2}$ .

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Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(4) (\frac{25 (25 + 1) (2 \cdot 25 + 1)}{6})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1.1

Somma $25$ e $1$ .

$4 \frac{25 \cdot 26 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Moltiplica $25$ per $26$ .

$4 \frac{650 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$4 \frac{650 (50 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.3

Somma $50$ e $1$ .

$4 \frac{650 \cdot 51}{6}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $650$ per $51$ .

$4 (\frac{33150}{6})$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{33150}{6}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{33150}{3})$

Passaggio 4.3.2.3

$2$ e $\frac{33150}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 33150}{3}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $2$ per $33150$ .

$\frac{66300}{3}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Dividi $66300$ per $3$ .

$22100$

Passaggio 5

Calcola $\sum_{i = 1}^{25} 4$ .

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Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(4) (25)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $4$ per $25$ .

$100$

Passaggio 6

Somma i risultati delle sommatorie.

$2153645 + 22100 + 100$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Somma $2153645$ e $22100$ .

$2175745 + 100$

Passaggio 7.2

Somma $2175745$ e $100$ .

$2175845$