Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{3 e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{3 e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.6

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 2$ per $x$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.7.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.7.2.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.7.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.7.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.7.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.2.7.2.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Passaggio 1.3.1.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 2$ per $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 e^{- 2 - x} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{- 2 - x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 - x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.8

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.9

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- 1 e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.10

Riscrivi $- 1 e^{- 2 - x}$ come $- e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.3.11

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.5

Somma $- 3 e^{- 2 - x}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 3.8

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + 0}$

Passaggio 3.9

Somma $4 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{- 3}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 3}{4} lim_{x \to - 2} \frac{e^{- 2 - x}}{x}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Passaggio 6

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Passaggio 9

Calcola il limite inserendo $- 2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 2$ per $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{lim_{x \to - 2} x}$

Passaggio 9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 2$ per $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{- 2}$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

Combina.

$\frac{- 3 e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 3 e^{- 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 10.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{- 3 e^{0}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 10.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 8}$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{- 3}{- 8}$

Passaggio 10.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{3}{8}$