Calcolo Esempi

$x^{3} e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{3} e^{x}$ come funzione.

$f (x) = x^{3} e^{x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x^{3} e^{x} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{3}$ e $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Passaggio 5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Passaggio 6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Passaggio 9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Passaggio 10

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Passaggio 12

Riscrivi $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ come $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x^{3} e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$