Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.6.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Passaggio 1.1.3.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x) - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.9.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.9.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.10

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.10.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.10.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 1.3.11

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

Passaggio 4.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0 + 1}{\sin (0) - \cos (0)}$

Passaggio 4.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin (0) - \cos (0)}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{0 - \cos (0)}$

Passaggio 4.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$