Calcolo Esempi

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $u$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Allora $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 2 u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $3$ rispetto a $u$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $2 u^{3}$ rispetto a $u$ è $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 2 (3 u^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$0 + 6 u^{2}$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $6 u^{2}$ .

$6 u^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 3

${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

Passaggio 5

$\frac{1}{6}$ e $5$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ come $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{5}{6}$ per $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $6$ per $5$ .

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune di $15$ e $30$ .

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Passaggio 7.2.4.1

Scomponi $15$ da $15$ .

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 7.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.4.2.1

Scomponi $15$ da $30$ .

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 7.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 7.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$