Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{x - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} + \sqrt{1} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{1} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6.3.3

Somma $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Per scrivere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 1.5.2

Per scrivere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6 \sqrt{x} x^{\frac{2}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} (2 \sqrt{x})} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{2}{3}} \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3}})} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.5

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.6

Per scrivere $\frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.7.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.7.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3 + 2 \cdot 2}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.9.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3 + 4}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.9.2

Somma $3$ e $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.10

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{x} (3 x^{\frac{2}{3}})}}{1}$

Passaggio 1.5.3.11

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 \sqrt{x} x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.12

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2}})}}{1}$

Passaggio 1.5.3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.14

Per scrivere $\frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.15

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.16

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.16.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.16.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.16.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.16.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{6}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.18.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{4 + 3}{6}}}}{1}$

Passaggio 1.5.3.18.2

Somma $4$ e $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}}{1}$

Passaggio 1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}}{1}$

Passaggio 1.6

Dividi $\frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.7

Sposta l'esponente $\frac{2}{3}$ da $x^{\frac{2}{3}}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 2.8

Sposta l'esponente $\frac{7}{6}$ da $x^{\frac{7}{6}}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 1}{1^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3}{1^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 4.1.5

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{1^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $5$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 5$

Passaggio 4.4

$\frac{1}{6}$ e $5$ .

$\frac{5}{6}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5}{6}$

Forma decimale:

$0.8\overline{3}$