Calcolo Esempi

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

Passaggio 3

Sia $u = - 2 x - 4$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = - 2 x - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $- 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - 2 x - 4$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$u_{lower} = - 4 - 4$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $4$ da $- 4$ .

$u_{lower} = - 8$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - 2 x - 4$ .

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Passaggio 3.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 4.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

Passaggio 10

Calcola $e^{u}$ per $- 2 t - 4$ e per $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

Passaggio 11

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

Passaggio 11.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Passaggio 11.2

Poiché l'esponente $- 2 t - 4$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- 2 t - 4}$ tende a $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Passaggio 11.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Calcola il limite di $e^{- 8}$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- (0 - e^{- 8})$

Passaggio 11.3.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

Passaggio 11.3.2.2

Sottrai $\frac{1}{e^{8}}$ da $0$ .

$- - \frac{1}{e^{8}}$

Passaggio 11.3.2.3

Moltiplica $- - \frac{1}{e^{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{e^{8}}$

Passaggio 11.3.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{e^{8}}$ per $1$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{e^{8}}$

Forma decimale:

$0.00033546 \dots$