Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ rispetto a $u$ è $\arctan (u)]_{1}^{0}$ .

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

Passaggio 6

Calcola $\arctan (u)$ per $0$ e per $1$ .

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$- (0 - \arctan (1))$

Passaggio 7.1.2

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$- (0 - \frac{π}{4})$

Passaggio 7.2

Sottrai $\frac{π}{4}$ da $0$ .

$- - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{4}$

Forma decimale:

$0.78539816 \dots$