Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $4 x^{3} - 16 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$0 + 0 + 2$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$16 - 32 + 2$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Sottrai $32$ da $16$ .

$- 16 + 2$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $- 16$ e $2$ .

$- 14$

Passaggio 1.4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Passaggio 1.4.3.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$16 - 32 + 2$

Passaggio 1.4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.2.1

Sottrai $32$ da $16$ .

$- 16 + 2$

Passaggio 1.4.3.2.2.2

Somma $- 16$ e $2$ .

$- 14$

Passaggio 1.4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 3.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 3.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 16 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $- 256$ e $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

Passaggio 3.2.2.3

La risposta finale è $- 192$ .

$- 192$

Passaggio 3.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1$ , dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 16 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 4$ e $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 3.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 16 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Passaggio 3.4.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $16$ da $4$ .

$f' (1) = - 12$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 3.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 16 x$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Passaggio 3.5.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

Passaggio 3.5.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

Passaggio 3.5.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $64$ da $256$ .

$f' (4) = 192$

Passaggio 3.5.2.3

La risposta finale è $192$ .

$192$

Passaggio 3.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 2$ , allora $x = - 2$ è un minimo locale.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 3.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 3.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un minimo locale.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 3.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

$x = - 2$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 2)$

Minimo assoluto: $(- 2, - 14)$

Passaggio 5