Calcolo Esempi

$\frac{\ln^{2} (x)}{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln^{2} (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{x (\frac{2}{x} \ln (x)) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{x \frac{2 \ln (x)}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.2

$x$ e $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.3.2

Dividi $2 \ln (x)$ per $1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{- \ln^{2} (x) + \ln (x^{2})}{x^{2}}$