Calcolo Esempi

$x^{\frac{2}{3}} - 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{2}{3}} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Passaggio 2.9

$x^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.11

Moltiplica.

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Passaggio 2.11.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Passaggio 2.11.2

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$