Calcolo Esempi

$- y = - 2 x^{2} + 3 x y^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- y) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 3 x y^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} + 3 x y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- 4 x + 3 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$- 4 x + 3 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- 4 x + 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 x + 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- 4 x + 3 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 4 x + 3 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x + 3 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$- 4 x + 3 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$- 4 x + 3 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x + 3 (3 x y^{2} y') + 3 y^{3}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- 4 x + 9 x y^{2} y' + 3 y^{3}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$3 y^{3} + 9 y^{2} x y' - 4 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y' = 3 y^{3} + 9 y^{2} x y' - 4 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $9 y^{2} x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' - 9 y^{2} x y' = 3 y^{3} - 4 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- y' - 9 y^{2} x y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' \cdot - 1 - 9 y^{2} x y' = 3 y^{3} - 4 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 9 y^{2} x y'$ .

$y' \cdot - 1 + y' (- 9 y^{2} x) = 3 y^{3} - 4 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot - 1 + y' (- 9 y^{2} x)$ .

$y' (- 1 - 9 y^{2} x) = 3 y^{3} - 4 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 1 - 9 y^{2} x$ ciascun termine in $y' (- 1 - 9 y^{2} x) = 3 y^{3} - 4 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1 - 9 y^{2} x$ ciascun termine in $y' (- 1 - 9 y^{2} x) = 3 y^{3} - 4 x$ .

$\frac{y' (- 1 - 9 y^{2} x)}{- 1 - 9 y^{2} x} = \frac{3 y^{3}}{- 1 - 9 y^{2} x} + \frac{- 4 x}{- 1 - 9 y^{2} x}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1 - 9 y^{2} x$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 1 - 9 y^{2} x)}{- 1 - 9 y^{2} x} = \frac{3 y^{3}}{- 1 - 9 y^{2} x} + \frac{- 4 x}{- 1 - 9 y^{2} x}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 y^{3}}{- 1 - 9 y^{2} x} + \frac{- 4 x}{- 1 - 9 y^{2} x}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{3 y^{3} - 4 x}{- 1 - 9 y^{2} x}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 y^{3} - 4 x}{- 1 (1) - 9 y^{2} x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 9 y^{2} x$ .

$y' = \frac{3 y^{3} - 4 x}{- 1 (1) - (9 y^{2} x)}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (9 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{3 y^{3} - 4 x}{- 1 (1 + 9 y^{2} x)}$

Passaggio 5.3.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 y^{3} - 4 x}{1 + 9 y^{2} x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 y^{3} - 4 x}{1 + 9 y^{2} x}$