Calcolo Esempi

$\frac{2 x + 3}{2 - x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2 x + 3}{2 - x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{2 - x} d x$

Passaggio 4

Riordina $2$ e $- x$ .

$\int \frac{2 x + 3}{- x + 2} d x$

Passaggio 5

Dividi $2 x + 3$ per $- x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$2 x$

$3$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- x$ .

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				+	$2 x$	-	$4$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x - 4$

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$
						+	$7$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int - 2 + \frac{7}{- x + 2} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 2 d x + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$- 2 x + C + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

Passaggio 8

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$- 2 x + C + 7 \int \frac{1}{- x + 2} d x$

Passaggio 9

Sia $u = - x + 2$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = - x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 9.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- 2 x + C + 7 \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 x + C + 7 \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 2 x + C + 7 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 12

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$- 2 x + C - 7 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- 2 x + C - 7 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$- 2 x - 7 \ln (| u |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x + 2$ .

$- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$ .

$F (x) =$ $- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$