Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (θ)$ come $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 4

Sia $u = \tan (θ)$ . Allora $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \tan (θ)$ . Trova $\frac{d u}{d θ}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $θ$ in $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $θ$ in $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Passaggio 5

Moltiplica $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $u^{4}$ per $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Passaggio 6.2.2

Somma $2$ e $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Passaggio 9

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{7}$ e $u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ per $1$ e per $0$ .

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.3

Per scrivere $\frac{1}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.4

Per scrivere $\frac{1}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $35$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.5.2

Moltiplica $5$ per $7$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.5.3

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.5.4

Moltiplica $7$ per $5$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.7

Somma $7$ e $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.9.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.9.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 12.2.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

Passaggio 12.2.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.1

Scomponi $7$ da $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

Passaggio 12.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Passaggio 12.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Passaggio 12.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

Passaggio 12.2.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

Passaggio 12.2.12

Somma $0$ e $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

Passaggio 12.2.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

Passaggio 12.2.14

Somma $\frac{12}{35}$ e $0$ .

$4 (\frac{12}{35})$

Passaggio 12.2.15

$4$ e $\frac{12}{35}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

Passaggio 12.2.16

Moltiplica $4$ per $12$ .

$\frac{48}{35}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{48}{35}$

Forma decimale:

$1.37142857 \dots$

Forma numero misto:

$1 \frac{13}{35}$