Calcolo Esempi

$\int 6 (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Allora $d u = (30 x + 10) d x$ , quindi $\frac{1}{10} d u = (3 x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 15]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{2} + 10 x - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.5.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$30 x + 10 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $30 x + 10$ e $0$ .

$30 x + 10$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

Passaggio 3

$e^{u}$ e $\frac{1}{10}$ .

$6 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{10}$ e $6$ .

$\frac{6}{10} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $10$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3)}{10} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{3}{5} (e^{u} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{3}{5} e^{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{3}{5} e^{15 x^{2} + 10 x - 15} + C$