Calcolo Esempi

\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec}^{4} (θ) {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi

4

$4$ come

2

$2$ più

2

$2$ .

\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec (θ)}^{2 + 2} {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 1.2

Riscrivi

{sec (θ)}^{2 + 2}

${\sec (θ)}^{2 + 2}$ come

{sec}^{2} (θ) {sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec}^{2} (θ) {sec}^{2} (θ) {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec}^{2} (θ) {sec}^{2} (θ) {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 2

Usando l'identità pitagorica, riscrivi

{sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ)$ come

1 + {tan}^{2} (θ)

$1 + \tan^{2} (θ)$ .

\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + {tan}^{2} (θ)) {sec}^{2} (θ) {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 3

Sia

u = tan (θ)

$u = \tan (θ)$ . Allora

d u = {sec}^{2} (θ) d θ

$d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , quindi

\frac{1}{{sec}^{2} (θ)} d u = d θ

$\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia

u = tan (θ)

$u = \tan (θ)$ . Trova

\frac{d u}{d θ}

$\frac{d u}{d θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia

tan (θ)

$\tan (θ)$ .

\frac{d}{d θ} [tan (θ)]

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di

tan (θ)

$\tan (θ)$ rispetto a

θ

$θ$ è

{sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ)$ .

{sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ)$

{sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ)$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a

θ

$θ$ in

u = tan (θ)

$u = \tan (θ)$ .

u_{lower} = tan (0)

$u_{lower} = \tan (0)$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di

tan (0)

$\tan (0)$ è

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a

θ

$θ$ in

u = tan (θ)

$u = \tan (θ)$ .

u_{upper} = tan (\frac{π}{4})

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.5

Il valore esatto di

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ è

1

$1$ .

u_{upper} = 1

$u_{upper} = 1$

Passaggio 3.6

I valori trovati per

u_{lower}

$u_{lower}$ e

u_{upper}

$u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 1

$u_{upper} = 1$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema usando

u

$u$ ,

d u

$d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Passaggio 4

Moltiplica

(1 + u^{2}) u^{4}

$(1 + u^{2}) u^{4}$ .

\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica

u^{4}

$u^{4}$ per

1

$1$ .

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica

u^{2}

$u^{2}$ per

u^{4}

$u^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Passaggio 5.2.2

Somma

2

$2$ e

4

$4$ .

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di

u^{4}

$u^{4}$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$u^{6}$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Passaggio 9

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ e

$\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ per

$1$ e per

$0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica

$\frac{1}{5}$ per

$1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica

$\frac{1}{7}$ per

$1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.5

Per scrivere

$\frac{1}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.6

Per scrivere

$\frac{1}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$35$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.7.1

Moltiplica

$\frac{1}{5}$ per

$\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.7.2

Moltiplica

$5$ per

$7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.7.3

Moltiplica

$\frac{1}{7}$ per

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.7.4

Moltiplica

$7$ per

$5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.9

Somma

$7$ e

$5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.10

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.11

Moltiplica

$\frac{1}{5}$ per

$0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.12

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Passaggio 10.2.13

Moltiplica

$\frac{1}{7}$ per

$0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Passaggio 10.2.14

Somma

$0$ e

$0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Passaggio 10.2.15

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Passaggio 10.2.16

Somma

$\frac{12}{35}$ e

$0$ .

$\frac{12}{35}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{12}{35}$

Forma decimale:

$0.3\overline{428571}$