Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 2

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (θ)$ come $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Passaggio 3

Sia $u = \tan (θ)$ . Allora $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \tan (θ)$ . Trova $\frac{d u}{d θ}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $θ$ in $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $θ$ in $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Passaggio 4

Moltiplica $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $u^{4}$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Passaggio 5.2.2

Somma $2$ e $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Passaggio 9

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.5

Per scrivere $\frac{1}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.6

Per scrivere $\frac{1}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $35$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 10.2.7.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.7.2

Moltiplica $5$ per $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.7.3

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.7.4

Moltiplica $7$ per $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.9

Somma $7$ e $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.11

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 10.2.12

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Passaggio 10.2.13

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Passaggio 10.2.14

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Passaggio 10.2.15

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Passaggio 10.2.16

Somma $\frac{12}{35}$ e $0$ .

$\frac{12}{35}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{12}{35}$

Forma decimale:

$0.3\overline{428571}$