Calcolo Esempi

$f (x) = 0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0.5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $0.5$ .

$1.5 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1.5 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1.5 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$1.5 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2.5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1.5 x^{2} - 2 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $1.5 x^{2} - 2$ e $0$ .

$1.5 x^{2} - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1.5 x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [1.5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $1.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1.5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 1.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 1.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1.5$ .

$f'' (x) = 3 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 3 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $3 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1.5 x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0.5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $0.5$ .

$1.5 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1.5 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1.5 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$1.5 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2.5]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $2.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2.5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1.5 x^{2} - 2 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $1.5 x^{2} - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 1.5 x^{2} - 2$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1.5 x^{2} - 2$ .

$1.5 x^{2} - 2$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1.5 x^{2} - 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1.5 x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$1.5 x^{2} = 2$

Passaggio 5.3

Dividi per $1.5$ ciascun termine in $1.5 x^{2} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $1.5$ ciascun termine in $1.5 x^{2} = 2$ .

$\frac{1.5 x^{2}}{1.5} = \frac{2}{1.5}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1.5 x^{2}}{1.5} = \frac{2}{1.5}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{1.5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $2$ per $1.5$ .

$x^{2} = 1.\overline{3}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1.\overline{3}}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$

Passaggio 5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{1.\overline{3}}, - \sqrt{1.\overline{3}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \sqrt{1.\overline{3}}, - \sqrt{1.\overline{3}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{1.\overline{3}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$3 (\sqrt{1.\overline{3}})$

Passaggio 9

Moltiplica $3$ per $\sqrt{1.\overline{3}}$ .

$3.46410161$

Passaggio 10

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{1.\overline{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{1.\overline{3}}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 {(\sqrt{1.\overline{3}})}^{3} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}$ come $\sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 \sqrt{{1.\overline{3}}^{3}} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $1.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 \sqrt{2.\overline{370}} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $0.5$ per $\sqrt{2.\overline{370}}$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.76980035 - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $2 \sqrt{1.\overline{3}}$ da $0.76980035$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = - 1.53960071 + 2.5$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 1.53960071$ e $2.5$ .

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.96039928$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0.96039928$ .

$y = 0.96039928$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$3 (- \sqrt{1.\overline{3}})$

Passaggio 13

Moltiplica $3 (- \sqrt{1.\overline{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sqrt{1.\overline{3}}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 3$ per $\sqrt{1.\overline{3}}$ .

$- 3.46410161$

Passaggio 14

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{1.\overline{3}}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 {(- \sqrt{1.\overline{3}})}^{3} - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{1.\overline{3}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- {\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Passaggio 15.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}$ come $\sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- \sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $1.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- \sqrt{2.\overline{370}}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $0.5 (- \sqrt{2.\overline{370}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $0.5$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.5 \sqrt{2.\overline{370}} - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Passaggio 15.2.1.5.2

Moltiplica $- 0.5$ per $\sqrt{2.\overline{370}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.76980035 - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.76980035 + 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 0.76980035$ e $2 \sqrt{1.\overline{3}}$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 1.53960071 + 2.5$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $1.53960071$ e $2.5$ .

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 4.03960071$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $4.03960071$ .

$y = 4.03960071$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ .

$(\sqrt{1.\overline{3}}, 0.96039928)$ è un minimo locale

$(- \sqrt{1.\overline{3}}, 4.03960071)$ è un massimo locale

Passaggio 17