Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $5 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{13 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Passaggio 1.2

Sposta il termine $13$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$13 \frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$13 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$13 \frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$13 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Sposta il termine $16$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

Passaggio 2.1.3.7.1.4

Moltiplica $- 16$ per $0$ .

$13 \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$13 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.7.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$13 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$13 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$13 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$13 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Passaggio 2.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \cdot 2 x}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Passaggio 3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$13 \cdot 3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Passaggio 4.1.3.2

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Passaggio 4.1.3.3

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Passaggio 4.1.3.4

Sposta il termine $32$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 4.1.3.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 4.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.3.6.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.3.6.1.3

Moltiplica $- 32$ per $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 4.1.3.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 32 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Passaggio 4.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Passaggio 4.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Passaggio 4.3.4.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Passaggio 4.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 x$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.5.3

Moltiplica $- 32$ per $1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $36 x^{2} - 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{36 x^{2} - 32}$

Passaggio 4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Scomponi $2$ da $36 x^{2}$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 18 x^{2} - 32}$

Passaggio 4.4.2.2

Scomponi $2$ da $- 32$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 18 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

Passaggio 4.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Passaggio 4.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Passaggio 4.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x}{18 x^{2} - 16}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Passaggio 5.3

Sposta il termine $18$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Passaggio 5.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $13$ per $3$ .

$39 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $- 1$ da $18 \cdot 0^{2}$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 \cdot 16}$

Passaggio 7.2.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 16$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)}$

Passaggio 7.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Passaggio 7.2.4

Riscrivi $- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ come $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Passaggio 7.2.5

Scomponi $2$ da $0$ .

$39 \frac{2 (0)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Passaggio 7.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{2 (0)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Passaggio 7.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$39 \frac{2 \cdot 0}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Passaggio 7.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Passaggio 7.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0 + 8)}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (0 + 8)}$

Passaggio 7.3.3

Somma $0$ e $8$ .

$39 \frac{0}{- 1 \cdot 8}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$39 (\frac{0}{- 8})$

Passaggio 7.5

Dividi $0$ per $- 8$ .

$39 \cdot 0$

Passaggio 7.6

Moltiplica $39$ per $0$ .

$0$