Calcolo Esempi

$y' = 2 x y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

Passaggio 2

Separa le variabili.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

Passaggio 2.2.2

$2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Passaggio 2.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Passaggio 2.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

Passaggio 3.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\ln (| y |) = x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y |$

Passaggio 4.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + C}$

Passaggio 4.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $e^{x^{2} + C}$ come $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

Passaggio 5.2

Riordina $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

Passaggio 5.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{x^{2}}$