Calcolo Esempi

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 1.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $3 x + 5$ per $1$ .

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 3)$ per $1$ .

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Dividi $(B) (x - 1)$ per $1$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Passaggio 1.1.7.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Passaggio 1.1.7.7

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Passaggio 1.1.8

Sposta $3 A$ .

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = 3 A - 1 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $3 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $3 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = 3 A - 1 B$ con $3 - B$ .

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $3 (3 - B) - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.4

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- 3 B$ .

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $5 = 9 - 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $9 - 4 B = 5$ .

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $9$ da $5$ .

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 B = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 B = - 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividi $- 4$ per $- 4$ .

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 3 - B$ con $1$ .

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $3 - (1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A = 3 - 1$

$B = 1$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 2, B = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

Passaggio 1.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Passaggio 4.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Passaggio 4.5

Sottrai $1$ da $5$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = x + 3$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = x + 3$ .

$u_{lower} = 3 + 3$

Passaggio 6.3

Somma $3$ e $3$ .

$u_{lower} = 6$

Passaggio 6.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = x + 3$ .

$u_{upper} = 5 + 3$

Passaggio 6.5

Somma $5$ e $3$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\ln (| u_{1} |)$ per $4$ e per $2$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Passaggio 8.2

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $8$ e per $6$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Passaggio 9.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Passaggio 10.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Passaggio 10.3

Dividi $4$ per $2$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Passaggio 10.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $8$ è $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

Passaggio 10.5

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $6$ è $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

Passaggio 10.6

Elimina il fattore comune di $8$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

Passaggio 10.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Passaggio 10.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Passaggio 10.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Forma decimale:

$1.67397643 \dots$

Passaggio 12