Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 1.3

Sottrai $0$ da $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 3$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$u_{upper} = 1 - 3$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{- 2} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{- 2})$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $- 2$ e per $1$ .

$- ((- {(- 2)}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{- 2} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (- - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (1 (\frac{1}{2}) + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- (\frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{1}{2} + 1)$

Passaggio 6.2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Passaggio 6.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1 + 2}{2}$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimale:

$- 1.5$

Forma numero misto:

$- 1 \frac{1}{2}$

Passaggio 8