Calcolo Esempi

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 6 x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 6 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 6 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 4} x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $4$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{4^{2} - 6 lim_{x \to 4} x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{4^{2} - 6 \cdot 4 + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16 - 6 \cdot 4 + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$\frac{16 - 24 + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $24$ da $16$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Somma $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 4} x^{3} - lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Passaggio 1.1.3.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta il termine $16$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 4} x}$

Passaggio 1.1.3.7

Calcola il limite inserendo $4$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4^{3} - 4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 4} x}$

Passaggio 1.1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4^{3} - 4 \cdot 4^{2} - 16 lim_{x \to 4} x}$

Passaggio 1.1.3.7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4^{3} - 4 \cdot 4^{2} - 16 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.8.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{0}{2 \cdot 64 - 4 \cdot 4^{2} - 16 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.8.1.2

Moltiplica $2$ per $64$ .

$\frac{0}{128 - 4 \cdot 4^{2} - 16 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.8.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{128 - 4 \cdot 16 - 16 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.8.1.4

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$\frac{0}{128 - 64 - 16 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.8.1.5

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$\frac{0}{128 - 64 - 64}$

Passaggio 1.1.3.8.2

Sottrai $64$ da $128$ .

$\frac{0}{64 - 64}$

Passaggio 1.1.3.8.3

Sottrai $64$ da $64$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.8.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Passaggio 1.3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Passaggio 1.3.8.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Passaggio 1.3.10

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.10.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.10.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 8 x - 16}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $2 x - 6$ e $6 x^{2} - 8 x - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) - 6}{6 x^{2} - 8 x - 16}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) + 2 (- 3)}{6 x^{2} - 8 x - 16}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{6 x^{2} - 8 x - 16}$

Passaggio 1.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2}) - 8 x - 16}$

Passaggio 1.4.4.2

Scomponi $2$ da $- 8 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 16}$

Passaggio 1.4.4.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2} - 4 x) - 16}$

Passaggio 1.4.4.4

Scomponi $2$ da $- 16$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (- 8)}$

Passaggio 1.4.4.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (- 8)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2} - 4 x - 8)}$

Passaggio 1.4.4.6

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2} - 4 x - 8)}$

Passaggio 1.4.4.7

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 3}{3 x^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 3}{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} 8}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} 8}$

Passaggio 2.6

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} 8}$

Passaggio 2.7

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 8}$

Passaggio 2.8

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 8}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $4$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 8}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 4^{2} - 4 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 8}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4 - 3}{3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 16 - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{1}{48 - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{1}{48 - 16 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{1}{48 - 16 - 8}$

Passaggio 4.2.5

Sottrai $16$ da $48$ .

$\frac{1}{32 - 8}$

Passaggio 4.2.6

Sottrai $8$ da $32$ .

$\frac{1}{24}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{24}$

Forma decimale:

$0.041\overline{6}$