Calcolo Esempi

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$0 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - x^{- 4} (2 x)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x^{- 4} x$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - 2 x^{1 - 4}$

Passaggio 2.8

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 - 2 x^{- 3}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{- 2}{x^{3}}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $\frac{2}{x^{3}}$ da $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$