Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} - 4 x$ . Allora $d u = (2 x - 4) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$2 x - 4$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u_{lower} = 1 - 4$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$u_{lower} = - 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$u_{upper} = 9 - 12$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $12$ da $9$ .

$u_{upper} = - 3$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\ln (| u |)$ per $- 3$ e per $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $\ln (| - 3 |)$ da $\ln (| - 3 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0$

Passaggio 6