Calcolo Esempi

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Allora $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ , quindi $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\csc (2 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \csc (t)$ e $g (t) = 2 π t$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 π t$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2 π$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 π t$ rispetto a $t$ è $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

Passaggio 1.1.3.4.2

Riordina i fattori di $- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ .

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

Passaggio 1.3.1.2

Scomponi $2$ da $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

Passaggio 1.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Passaggio 1.3.2

$π$ e $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{6})$ è $2$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

Passaggio 1.5.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

Passaggio 1.5.1.3

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

Passaggio 1.5.1.4

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Passaggio 1.5.2

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ per $1$ e per $2$ .

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Passaggio 4.2.2

$\frac{1}{2 π}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

Passaggio 4.2.4

Per scrivere $\frac{1}{π}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.2.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 π$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

Passaggio 4.2.5.2

Riordina i fattori di $π \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Passaggio 4.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

Passaggio 4.2.7

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 π}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2 π}$

Forma decimale:

$0.15915494 \dots$