Calcolo Esempi

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Passaggio 4

Sia $u = 2 \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \tan (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $4$ da $4 \tan^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.5

Rimetti in ordine i termini.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi $4 \sec^{2} (t)$ come ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2 \sec (t)$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 \sec (t)$ da $2 \sec^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \int \sec (t) d t$

Passaggio 6

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

Passaggio 8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$