Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = π x$ . Allora $d u = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = π x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 1$

Passaggio 2.3

Moltiplica $π$ per $1$ .

$u_{lower} = π$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = π x$ .

$u_{upper} = π t$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Passaggio 7

$\frac{1}{π}$ e $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Passaggio 8

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $π t$ e per $π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

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Passaggio 9.1

Calcola il limite.

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Passaggio 9.1.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Passaggio 9.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Passaggio 9.2

Poiché la funzione ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 9.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Passaggio 9.2.3

Con $t$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Passaggio 9.3

Calcola il limite.

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Passaggio 9.3.1

Calcola il limite di $2 π^{\frac{1}{2}}$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Passaggio 9.3.2

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.3.3.1

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{π}$

Passaggio 9.3.3.2

Infinito diviso per qualsiasi cosa finita e diversa da zero è uguale a infinito.

$\infty$