Calcolo Esempi

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + {tan}^{2} (x)} d x

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Rimetti in ordine i termini.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

Passaggio 1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

Passaggio 1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

Passaggio 2

L'integrale di

$\sec (x)$ rispetto a

$x$ è

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ per

$\frac{π}{3}$ e per

$0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di

$\sec (\frac{π}{3})$ è

$2$ .

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Passaggio 3.2.2

Il valore esatto di

$\tan (\frac{π}{3})$ è

$\sqrt{3}$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Passaggio 3.2.3

Il valore esatto di

$\sec (0)$ è

$1$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Passaggio 3.2.4

Il valore esatto di

$\tan (0)$ è

$0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Passaggio 3.2.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 3.2.6

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ corrisponde approssimativamente a

$3.7320508$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

Passaggio 3.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

Passaggio 3.3.3

Dividi

$2 + \sqrt{3}$ per

$1$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Forma decimale:

$1.31695789 \dots$