Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{9} (x) \sin^{5} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\cos^{8} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{8} (x) \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (4)} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\cos (x)}^{2 (4)}$ come un elevamento a potenza.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{4} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Passaggio 3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{4} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = \sin (x)$ . Allora $d u_{1} = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} {(1 - {u_{1}}^{2})}^{4} {u_{1}}^{5} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - {u_{1}}^{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- {u_{1}}^{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $2 u_{1}$ da $0$ .

$- 2 u_{1}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $u_{1}$ in $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $u_{1}$ in $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi ${\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4}$ come ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- u_{2} + 1}$ come ${(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {({(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{4}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2}{1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 6.3

${u_{2}}^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{{u_{2}}^{4}}{2}) d u_{2}$

Passaggio 6.4

${(- u_{2} + 1)}^{2}$ e $\frac{{u_{2}}^{4}}{2}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{0} \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Passaggio 9

Espandi ${(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ come $(- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1)$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Passaggio 9.2