Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9.3

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 12

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Somma $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{x \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15.2

$x$ e $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 16

Moltiplica $\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ per $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 17

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Combina.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 17.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 17.3

Elimina il fattore comune di $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 17.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 17.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 19

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ per $1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 20.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.2

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.2.1

Sposta ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{1} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.3

Semplifica $- 2 {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x - 2 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{x - 2 (x + 1) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 20.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 1 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.5.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{x - 2 x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.6

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.1.7

Riordina i termini.

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.2

Riordina i termini.

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.4

Scomponi $- 1$ da $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.6

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.7

Scomponi $- 1$ da $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.8

Riscrivi $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ come $- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$