Calcolo Esempi

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Passaggio 2.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - \frac{x^{2}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Passaggio 2.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

Passaggio 2.6

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7.2

$\frac{1}{3}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.7.3

$\frac{- 3}{3}$ e ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.7.4

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 2.7.4.1

Scomponi $3$ da $- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.7.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.7.4.2.4

Dividi $- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ per $1$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

Passaggio 2.9.2

Riordina i fattori di $- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ .

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$