Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \sin (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.6

$\cos (\frac{x}{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.7

$3$ e $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ e $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\frac{3}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $\cos (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = π$

Passaggio 5.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Semplifica $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.6.2.2.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.6.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.6.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.6.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Passaggio 5.6.2.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = 4 π - π$

Passaggio 5.6.2.2.1.6

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = 3 π$

Passaggio 5.7

La soluzione dell'equazione $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Passaggio 8

$x = π$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = π$ è un massimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (π) = 3 + 4$

Passaggio 9.2.2

Somma $3$ e $4$ .

$f (π) = 7$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $7$ .

$y = 7$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 3 π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Passaggio 11.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 11.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

Passaggio 11.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{3}{4}$

Passaggio 11.3

Moltiplica $- - \frac{3}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 12

$x = 3 π$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3 π$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3 π$ nell'espressione.

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Passaggio 13.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Passaggio 13.2.1.3

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

Passaggio 13.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 + 4$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 3$ e $4$ .

$f (3 π) = 1$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ .

$(π, 7)$ è un massimo locale

$(3 π, 1)$ è un minimo locale

Passaggio 15