Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} x \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + 2 x^{2}$ . Allora $d u = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + 2 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 + 4 x$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $4 x$ .

$4 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Passaggio 1.5.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Passaggio 1.5.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

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Passaggio 6.2.7.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Passaggio 6.2.10

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 6.2.11

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 6.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Passaggio 6.2.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.13.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Passaggio 6.2.13.2

Sottrai $2$ da $54$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Passaggio 6.2.14

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.15

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{52}{12}$

Passaggio 6.2.16

Elimina il fattore comune di $52$ e $12$ .

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Passaggio 6.2.16.1

Scomponi $4$ da $52$ .

$\frac{4 (13)}{12}$

Passaggio 6.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.16.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{13}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{13}{3}$

Forma decimale:

$4.\overline{3}$

Forma numero misto:

$4 \frac{1}{3}$

Passaggio 8