Calcolo Esempi

$\int y^{2} {(4 - y^{3})}^{\frac{2}{3}} d y$

Passaggio 1

Sia $u = 4 - y^{3}$ . Allora $d u = - 3 y^{2} d y$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 - y^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 - y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [4 - y^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (3 y^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 y^{2}$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $3 y^{2}$ da $0$ .

$- 3 y^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{\frac{2}{3}} \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 2.2

$u^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3}} d u)$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$ come $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- \frac{3}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $15$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{3 (1)}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - y^{3}$ .

$- \frac{1}{5} {(4 - y^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$