Calcolo Esempi

$- x y^{2} - 3 + 2 x^{3} = - 3 y^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 y^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 (3 x^{2})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 6 x^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (2 x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $- 2 x y y' - y^{2}$ e $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 6 x^{2}$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 y^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$- 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 9 y^{2} y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' = - 9 y^{2} y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $9 y^{2} y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $6 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2}$

Passaggio 5.2.2

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $y y'$ da $- 2 x y y' + 9 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y y'$ da $- 2 x y y'$ .

$y y' (- 2 x) + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y y'$ da $9 y^{2} y'$ .

$y y' (- 2 x) + y y' (9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y y'$ da $y y' (- 2 x) + y y' (9 y)$ .

$y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $y (- 2 x + 9 y)$ ciascun termine in $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $y (- 2 x + 9 y)$ ciascun termine in $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2 x + 9 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y}$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 5.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (- 2 x + 9 y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + 9 y) y}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(- 2 x + 9 y) y$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.5

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.7

Scomponi $- 1$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.9

Riscrivi $- (6 x^{2} - y^{2})$ come $- 1 (6 x^{2} - y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.10

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) + 9 y)}$

Passaggio 5.4.3.11

Scomponi $- 1$ da $9 y$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) - (- 9 y))}$

Passaggio 5.4.3.12

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (- 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x - 9 y))}$

Passaggio 5.4.3.13

Riscrivi $- (2 x - 9 y)$ come $- 1 (2 x - 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Passaggio 5.4.3.14

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Passaggio 5.4.3.15

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$