Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Allora $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 3$ e $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $6$ da $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Passaggio 1.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$u_{upper} = 3$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $e^{u}$ per $3$ e per $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{3}$ e $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{3}$ e $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Forma decimale:

$5.78908503 \dots$

Passaggio 8