Calcolo Esempi

$2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Passaggio 1

Scrivi $2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ come funzione.

$f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Passaggio 5

Sia $u = \frac{x}{3}$ . Allora $d u = \frac{1}{3} d x$ , quindi $3 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = \frac{x}{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Passaggio 6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\csc^{2} (u)$ .

$2 \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Passaggio 8

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 9

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$6 (- \cot (u) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$6 (- \cot (u)) + C$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \cot (u) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{3}$ .

$- 6 \cot (\frac{x}{3}) + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ .

$F (x) =$ $- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$