Calcolo Esempi

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ come $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $3 \cos^{3} (x)$ come $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ .

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

Passaggio 1.1.2

Riordina $3$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

Passaggio 1.1.3

Aggiungi le parentesi.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 \cos (x)}$ come ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Scomponi $3$ da $3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a $3 (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 7.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 7.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Passaggio 7.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 7.3

Poiché $3^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 12.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 13

$\frac{3}{2}$ e ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 14

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 15

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 15.1

Sposta $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 15.2

Moltiplica $3^{\frac{1}{2}}$ per $3$ .

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Passaggio 15.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 15.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 15.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 15.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 16

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

Passaggio 17

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $\sin (x)$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$