Calcolo Esempi

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x (x^{2} + 6)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.7

Somma $1$ e $1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

Passaggio 3.9

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.9.1

Moltiplica $x^{2} + 6$ per $1$ .

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

Passaggio 3.9.2

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$5 (3 x^{2} + 6)$

Passaggio 3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

Passaggio 3.10.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.10.2.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

Passaggio 3.10.2.2

Moltiplica $5$ per $6$ .

$15 x^{2} + 30$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 15 x^{2} + 30$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$