Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Elimina il fattore comune di $9$ e $- 3$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $3$ da $9 \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

Passaggio 1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

Passaggio 1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

Passaggio 2.1.2.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

Passaggio 2.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ .

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (0)$

Passaggio 5.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$- 3 \cdot 1^{2}$

Passaggio 5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$