Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $\frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ da ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.3.2.4

Dividi ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Somma $n$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Passaggio 2.2.6

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.7

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

$r = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Poiché $| r | < 1$ , la serie converge.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $n$ in $(- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$a = - \frac{4}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $- \frac{4}{3}$ per $1$ .

$a = - \frac{4}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{- \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{4}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 6.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 6.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2$