Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = 2$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0} = 2$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.5

Somma $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{1} = 2$

Passaggio 1.4

Dividi $2 e^{2 x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} = 2$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} e^{2 x} = 2$

Passaggio 2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} = 2$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 e^{2 lim_{x \to 0} x} = 2$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 e^{2 \cdot 0} = 2$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 e^{0} = 2$

Passaggio 4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 \cdot 1 = 2$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 = 2$