Calcolo Esempi

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.3

Moltiplica.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

Passaggio 4.5.2

Somma $1 + x^{- 2}$ e $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 5.3.2

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori di $(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ .

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

Passaggio 5.5

Espandi $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Passaggio 5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Passaggio 5.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Passaggio 5.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.6.1.1

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Passaggio 5.6.1.2

Moltiplica $- \frac{2}{x}$ per $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Passaggio 5.6.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Passaggio 5.6.1.4

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Passaggio 5.6.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.6.1.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Passaggio 5.6.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Passaggio 5.6.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Passaggio 5.6.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 5.6.1.7

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 5.6.1.7.1

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

Passaggio 5.6.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.6.1.7.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.6.1.7.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

Passaggio 5.6.1.7.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

Passaggio 5.6.1.7.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 5.6.2

Somma $- \frac{2}{x}$ e $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 5.6.3

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$