Calcolo Esempi

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Passaggio 1

Scomponi $2$ da $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $2 e^{x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ .

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Allora $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 3.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.1.4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.1.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 3.1.4.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 3.1.4.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ come $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$