Calcolo Esempi

$y = 7^{x} + 1102$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7^{x} + 1102$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [1102]$ .

$\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [1102]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $7$ .

$7^{x} \ln (7) + \frac{d}{d x} [1102]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $1102$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1102$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7^{x} \ln (7) + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $7^{x} \ln (7)$ e $0$ .

$f' (x) = 7^{x} \ln (7)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\ln (7)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7^{x} \ln (7)$ rispetto a $x$ è $\ln (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$ .

$\ln (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $7$ .

$\ln (7) (7^{x} \ln (7))$

Passaggio 2.3

Eleva $\ln (7)$ alla potenza di $1$ .

$7^{x} (\ln^{1} (7) \ln (7))$

Passaggio 2.4

Eleva $\ln (7)$ alla potenza di $1$ .

$7^{x} (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7))$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7^{x} {\ln (7)}^{1 + 1}$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 7^{x} \ln^{2} (7)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $\ln^{2} (7)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7^{x} \ln^{2} (7)$ rispetto a $x$ è $\ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$ .

$\ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $7$ .

$\ln^{2} (7) (7^{x} \ln (7))$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\ln^{2} (7)$ per $\ln (7)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $\ln (7)$ .

$\ln (7) \ln^{2} (7) \cdot 7^{x}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\ln (7)$ per $\ln^{2} (7)$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Eleva $\ln (7)$ alla potenza di $1$ .

$\ln^{1} (7) \ln^{2} (7) \cdot 7^{x}$

Passaggio 3.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\ln (7)}^{1 + 2} \cdot 7^{x}$

Passaggio 3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\ln^{3} (7) \cdot 7^{x}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori di $\ln^{3} (7) \cdot 7^{x}$ .

$f''' (x) = 7^{x} \ln^{3} (7)$