Calcolo Esempi

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1 + \ln (x)}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 4

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 7

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 7.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$