Calcolo Esempi

${(x - 1)}^{2} \sin (x)$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) \sin (x)]$

Passaggio 2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 1) - 1 (x - 1)) \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) \sin (x)]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Passaggio 3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x + 1) \sin (x)]$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) \sin (x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 + 0)$

Passaggio 6.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \sin (x) \cdot - 2$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \sin (x) \cdot - 2$

Passaggio 7.3.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + \cos (x) + \sin (x) (2 x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) - 2 \sin (x)$