Calcolo Esempi

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Passaggio 2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = x + 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Passaggio 3.3

Somma $2$ e $2$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = x + 2$ .

$u_{upper} = t + 2$

Passaggio 3.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $u_{1}$ in $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Passaggio 4.3

Sostituisci il limite superiore a $u_{1}$ in $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Passaggio 4.4

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Passaggio 4.5

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

Passaggio 7

Calcola $- {u_{2}}^{- 1}$ per $\ln (t + 2)$ e per $\ln (4)$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

Passaggio 8.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Passaggio 8.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Passaggio 8.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ tende a $0$ .

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Passaggio 8.5

Calcola il limite.

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Passaggio 8.5.1

Calcola il limite di $\ln^{- 1} (4)$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

Passaggio 8.5.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.5.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

Passaggio 8.5.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

Passaggio 8.5.2.3

$5$ e $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{5}{\ln (4)}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5}{\ln (4)}$

Forma decimale:

$3.60673760 \dots$