Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 - 4 x^{2}$ . Allora $d u = - 8 x d x$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 4 - 4 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$0 - 8 x$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $8 x$ da $0$ .

$- 8 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $4$ e $0$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $8$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $0$ e per $4$ .

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.4

Calcola l'esponente.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.7

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 7.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 7.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

Passaggio 7.2.9

Calcola l'esponente.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

Passaggio 7.2.10

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

Passaggio 7.2.11

Sottrai $4$ da $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

Passaggio 7.2.12

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$4 (\frac{1}{8})$

Passaggio 7.2.13

$4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8}$

Passaggio 7.2.14

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

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Passaggio 7.2.14.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Passaggio 7.2.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.14.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$

Passaggio 9