Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Passaggio 1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Passaggio 1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- {u_{1}}^{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $u_{1}$ in $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $u_{1}$ in $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 5.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $e^{u_{2}}$ per $- 1$ e per $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 11.3

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 11.4

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 11.4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 11.5

Sposta $4$ alla sinistra di $e$ .

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.15803013 \dots$

Passaggio 13